Zadanie 1 - terminowe ubezpieczenie na życie

W tym zadaniu zbudujesz prosty model aktuarialny służący do wyznaczenia składki jednorazowej netto dla terminowego ubezpieczenia na życie.

Terminowe ubezpieczenie na życie to umowa, w której ubezpieczyciel zobowiązuje się wypłacić świadczenie w przypadku śmierci ubezpieczonego w określonym czasie trwania ochrony. Jeśli ubezpieczony przeżyje cały okres ubezpieczenia, świadczenie nie jest wypłacane, a ochrona wygasa.

W modelu zakładamy:

• brak kosztów, prowizji i reasekuracji (czyli liczymy składkę netto),

• stałą stopę procentową (oprocentowanie techniczne),

• stałe miesięczne prawdopodobieństwo zgonu (dla uproszczenia modelu).

1 Utworzenie modelu

Twoim pierwszym krokiem jest utworzenie nowego modelu.

W tym celu:

1. Otwórz powłokę Python.

2. Skorzystaj z poniższej komendy, aby utworzyć nowy model o nazwie zadanie_1:

from cashflower import create_model
create_model("zadanie_1")

2 Dane wejściowe

W tej części przygotujesz dane wejściowe: dane ubezpieczeniowe (tzw. model point set) oraz założenie dotyczące stopy procentowej.

2.1 Dane ubezpieczeniowe (model point set)

W pliku input.py przygotuj dane dotyczące ubezpieczonego. Skorzystaj z klasy ModelPointSet i przygotuj dane w formie tabeli (DataFrame). Nazwij swój model point set policy.

Polisa powinna zawierać następujące atrybuty:

• suma ubezpieczenia: 100 000 zł (sum_assured),

• miesięczne prawdopodobieństwo zgonu: 0.003 (mortality_rate),

• czas trwania umowy: 36 miesięcy (term).

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z miejscami do uzupełnienia:

​x
# input.py

from cashflower import ModelPointSet
import pandas as pd

policy = ModelPointSet(data=pd.DataFrame({
    "sum_assured": [_____],
    "mortality_rate": [_____],
    "term": [_____],
}))

Zadanie:

Uzupełnij brakujące wartości zgodnie z założeniami.

2.2 Założenia rynkowe

Załóż, że miesięczna stopa procentowa wynosi 0.5%. Zapisz ją jako zmienną skalarną interest_rate. Umieść ją w tym samym pliku input.py.

xxxxxxxxxx
# input.py

interest_rate = _____

Zadanie:

Uzupełnij wartość stopy procentowej jako ułamek dziesiętny.

3 Model

W tej części stworzysz zmienne modelowe potrzebne do obliczenia składki jednorazowej netto.

3.1 Import danych

Na początek zaimportuj dane wejściowe z pliku input.py. Otwórz plik model.py.

Znajdziesz tam przykładową zmienną, możesz ją zakomentować lub usunąć, aby mieć czysty plik.

Zaimportuj dane:

• policy – dane polisy,

• interest_rate – stopa procentowa.

Uzupełnij poniższy kod:

xxxxxxxxxx
# model.py

from input import _____, _____

3.2 Prawdopodobieństwo przeżycia t miesięcy

Utwórz zmienną survival_rate(t), która będzie wyznaczać prawdopodobieństwo przeżycia t miesięcy od początku trwania umowy.

Posłuż się zależnością rekurencyjną:

Załóż, że:

• dla t=0 przeżywalność wynosi 1,

• prawdopodobieństwo zgonu miesięczne jest stałe i równe policy.get("mortality_rate").

Uzupełnij funkcję poniżej:

xxxxxxxxxx
# model.py

@variable()
def survival_rate(t):
    if t == 0:
        return 1
    else:
        q = policy.get("_____")
        return survival_rate(t - 1) * (_____ )

Zadanie:

• Uzupełnij nazwę atrybutu zawierającego miesięczne prawdopodobieństwo zgonu.

• Zastanów się, jak wyrazić prawdopodobieństwo przeżycia t miesięcy.

3.3 Oczekiwane świadczenie

Zdefiniuj zmienną expected_benefit(t) – oczekiwaną wartość świadczenia wypłacanego w miesiącu t.

Skorzystaj ze wzoru:

Pamiętaj, że:

• dla t = 0 oraz po zakończeniu okresu ubezpieczenia świadczenie wynosi 0,

• $B$$B$ topolicy.get("sum_assured"),

• długość trwania polisy to policy.get("term").

Uzupełnij poniższy kod:

xxxxxxxxxx
# model.py

@variable()
def expected_benefit(t):
    if t == 0 or t > policy.get("_____"):
        return 0
    else:
        B = policy.get("_____")
        q = policy.get("_____")
        return B * _____ * q

Zadanie:

• Uzupełnij brakujące nazwy atrybutów (term, sum_assured, mortality_rate).

• Uzupełnij część wzoru, która odpowiada za prawdopodobieństwo przeżycia do miesiąca t-1.

3.4 Składka jednorazowa netto

Oblicz wartość składki jednorazowej netto, czyli bieżącej wartości oczekiwanych świadczeń.

Zastosuj podejście rekurencyjne:

$\text{net\_single\_premium(t)}=\text{expected\_benefit(t)}+\text{net\_single\_premium(t+1)}\cdot v$$\text{net\_single\_premium(t)} = \text{expected\_benefit(t)} + \text{net\_single\_premium(t+1)} \cdot v$

gdzie:

• $v=\frac{1}{1+i}$$v = \frac{1}{1+i}$,

• $i$$i$ to miesięczna stopa procentowa (interest_rate),

• dla ostatniego miesiąca (maksymalne t) składka to oczekiwane świadczenie.

Pamiętaj, że maksymalna wartość t jest ustawiona w settings.py jako T_MAX_CALCULATION.

Uzupełnij poniższy kod:

xxxxxxxxxx
# model.py

from settings import settings

@variable()
def net_single_premium(t):
    if t == settings["_____"]:
        return _____
    else:
        v = 1 / (1 + _____)
        return _____ + v * _____

Zadanie:

• Uzupełnij nazwę parametru z settings.py, który określa maksymalne t,

• Wstaw odpowiednie zmienne do obliczenia składki (np. expected_benefit, net_single_premium, interest_rate).