Zadanie 2 - renta terminowa

W tym zadaniu zbudujesz prosty model aktuarialny służący do wyznaczenia bieżącej wartości aktuarialnej renty terminowej.

Renta terminowa to umowa, w której ubezpieczyciel zobowiązuje się wypłacać cykliczne świadczenia przez określony czas – pod warunkiem, że ubezpieczony żyje.

W modelu zakładamy:

• brak kosztów, prowizji i reasekuracji (czyli liczymy wartość netto),

• stałą stopę procentową (oprocentowanie techniczne),

• stałe miesięczne prawdopodobieństwo zgonu (dla uproszczenia modelu),

• miesięczne wypłaty świadczenia.

1 Utworzenie modelu

Twoim pierwszym krokiem jest utworzenie nowego modelu.

W tym celu:

1. Otwórz powłokę Python.

2. Skorzystaj z poniższej komendy, aby utworzyć model o nazwie zadanie_2:

from cashflower import create_model
create_model("zadanie_2")

2 Dane wejściowe

W tej części przygotujesz dane wejściowe: dane ubezpieczeniowe (tzw. model point set) oraz założenie dotyczące stopy procentowej.

2.1 Dane ubezpieczeniowe (model point set)

W pliku input.py przygotuj dane dotyczące ubezpieczonych. Skorzystaj z klasy ModelPointSet i przygotuj dane w formie tabeli (DataFrame). Nazwij swój model point set policy.

Dodaj dane dla dwóch osób:

• osoba 1: świadczenie 2 000 zł, miesięczne prawdopodobieństwo zgonu 0.004, pozostała długość renty 120 miesięcy,

• osoba 2: świadczenie 3 000 zł, miesięczne prawdopodobieństwo zgonu 0.005, pozostała długość renty 48 miesięcy.

Uzupełnij kod:

​x
# input.py

from cashflower import ModelPointSet
import pandas as pd

policy = ModelPointSet(data=pd.DataFrame({
    "id": [1, 2],
    "benefit": [_____, _____],
    "mortality_rate": [_____, _____],
    "remaining_term": [_____, _____],
}))

Zadanie: Uzupełnij brakujące wartości zgodnie z danymi ubezpieczonych.

2.2 Założenia rynkowe

Załóż, że miesięczna stopa procentowa wynosi 0.3%. Zapisz ją jako zmienną skalarną interest_rate. Umieść ją w tym samym pliku input.py.

xxxxxxxxxx
# input.py

interest_rate = _____

Zadanie: Uzupełnij wartość stopy procentowej jako ułamek dziesiętny.

3. Model

W tej części utworzysz zmienne potrzebne do obliczenia bieżącej wartości aktuarialnej renty.

3.1 Import danych

Na początek zaimportuj dane wejściowe z pliku input.py. Otwórz plik model.py.

Znajdziesz tam przykładową zmienną, możesz ją zakomentować lub usunąć, aby mieć czysty plik.

Zaimportuj dane:

• policy – dane polisowe,

• interest_rate – stopa procentowa.

Uzupełnij poniższy kod:

xxxxxxxxxx
# model.py

from input import _____, _____

Zadanie: Wstaw odpowiednie nazwy zmiennych, które przygotowałeś/aś w input.py.

3.2 Prawdopodobieństwo przeżycia t miesięcy

Utwórz zmienną survival_rate(t), która będzie wyznaczać prawdopodobieństwo przeżycia t miesięcy od początku trwania renty.

Skorzystaj ze wzoru rekurencyjnego:

Załóż, że:

• dla t=0 przeżywalność wynosi 1,

• prawdopodobieństwo zgonu miesięczne jest stałe i równe policy.get("mortality_rate").

Uzupełnij funkcję poniżej:

xxxxxxxxxx
# model.py

@variable()
def survival_rate(t):
    if t == 0:
        return 1
    else:
        q = policy.get("_____")
        return survival_rate(t - 1) * (1 - _____)

Zadanie:

• Uzupełnij nazwę atrybutu zawierającego miesięczne prawdopodobieństwo zgonu.

• Zastanów się, jak wyrazić prawdopodobieństwo przeżycia t miesięcy.

3.3. Oczekiwane świadczenie

Zdefiniuj zmiennąexpected_benefit(t) – oczekiwaną wartość świadczenia wypłacanego w miesiącu t.

Skorzystaj ze wzoru:

Pamiętaj, że:

• dla t = 0 oraz po zakończeniu okresu renty świadczenie wynosi 0,

• $B$$B$ to policy.get("benefit"),

• długość trwania renty to policy.get("remaining_term").

Uzupełnij poniższy kod:

xxxxxxxxxx
# model.py

@variable()
def expected_benefit(t):
    if t == 0 or t > policy.get("_____"):
        return 0
    else:
        B = policy.get("_____")
        return B * _____

Zadanie:

• Uzupełnij nazwę atrybutu remaining_term i benefit,

• Wstaw odpowiednią zmienną dla przeżywalności t okresów.

3.4 Bieżąca wartość aktuarialna

Oblicz bieżącą wartość aktuarialną renty, czyli sumę zdyskontowanych oczekiwanych świadczeń.

Zastosuj podejście rekurencyjne:

$\text{actuarial\_present\_value(t)}=\text{expected\_benefit(t)}+\text{actuarial\_present\_value(t+1)}\cdot v$$\text{actuarial\_present\_value(t)} = \text{expected\_benefit(t)} + \text{actuarial\_present\_value(t+1)} \cdot v$

gdzie:

• $v=\frac{1}{1+i}$$v = \frac{1}{1+i}$,

• $i$$i$ to miesięczna stopa procentowa (interest_rate),

• dla maksymalnego t wartość równa się expected_benefit(t).

Uzupełnij kod poniżej:

xxxxxxxxxx
# model.py

from settings import settings

@variable()
def actuarial_present_value(t):
    if t == settings["_____"]:
        return _____
    else:
        v = 1 / (1 + _____)
        return _____ + v * _____

Zadanie:

• Uzupełnij nazwę parametru T_MAX_CALCULATION z pliku settings.py,

• Wstaw odpowiednie zmienne: expected_benefit, interest_rate, actuarial_present_value.

4. Struktura wyników

4.1. Wyniki indywidualne

Aby uzyskać wyniki osobno dla każdego ubezpieczonego, w pliku settings.py ustaw:

xxxxxxxxxx
# setting.py

settings = {
    "GROUP_BY": "id",
    # ...
}