Zadanie 5 - Wartość czasowa opcji i gwarancji

W tym zadaniu zbudujesz model do obliczania wartości czasowej opcji i gwarancji (TVOG) na podstawie scenariuszy stochastycznych.

Modelowany produkt to ubezpieczenie na dożycie z gwarantowaną sumą ubezpieczenia.

Jak działa ten produkt?

• ubezpieczony wpłaca składki co roku,

• składki są inwestowane w fundusz inwestycyjny,

• jeśli ubezpieczony dożyje do końca umowy, otrzyma większą z dwóch wartości: wartość funduszu lub gwarantowaną sumę.

Dla uproszczenia przyjmujemy okresy roczne i pomijamy ryzyko śmierci. Skupiamy się tylko na ryzyku inwestycyjnym.

1 Utworzenie modelu

Na początek utwórz nowy model o nazwie zadanie_5.

W powłoce Pythona wpisz:

from cashflower import create_model
create_model("zadanie_5")

2 Dane wejściowe

2.1 Dane ubezpieczeniowe (model point set)

W pliku input.py przygotuj dane dotyczące ubezpieczenia. Utwórz model point set o nazwie policy, który będzie zawierał:

• premium – roczna składka wpłacana na początku każdego roku: 19 000 zł

• guaranteed_benefit – gwarantowana wypłata w przypadku dożycia: 100 000 zł

• term – czas trwania umowy: 5 lat

Uzupełnij poniższy szkielet kodu:

​x
# input.py

from cashflower import ModelPointSet
import pandas as pd

policy = ModelPointSet(data=pd.DataFrame({
    "premium": [_____],
    "guaranteed_benefit": [_____],
    "term": [_____],
}))

Zadanie: Uzupełnij brakujące wartości zgodnie z danymi ubezpieczeniowymi.

2.2 Scenariusze stochastyczne

Model będzie wykorzystywał zestaw losowych scenariuszy stóp zwrotu z inwestycji.

Każdy scenariusz powinien zawierać:

• scenario – numer scenariusza,

• t – numer roku (od 1 do 5),

• rate – roczna stopa zwrotu w danym roku.

Załóż, że stopa zwrotu ma rozkład normalny ze średnią 4% i odchyleniem standardowym 10%.

Wygeneruj 1000 scenariuszy po 5 lat każdy. Skorzystaj z poniższego kodu:

xxxxxxxxxx
# input.py

import numpy as np

np.random.seed(123)
n_scenarios = 1000
n_years = 5

stochastic_scenarios = pd.DataFrame({
    "scenario": np.repeat(np.arange(1, n_scenarios + 1), n_years),
    "t": list(range(1, n_years + 1)) * n_scenarios,
    "rate": np.random.normal(loc=0.04, scale=0.10, size=n_scenarios * n_years),
}).set_index(["scenario", "t"])

Zadanie: Wygeneruj tabelę stochastic_scenarios zgodnie z powyższym kodem.

2.3 Stopa procentowa

Wartość czasowa gwarancji zależy od przyjętej stopy dyskonta. Załóż, że roczna techniczna stopa procentowa wynosi 3%.

Zapisz ją jako zmienną skalarną interest_rate w pliku input.py:

xxxxxxxxxx
interest_rate = _____

Zadanie: Uzupełnij wartość stopy procentowej jako ułamek dziesiętny.

3 Ustawienia

W pliku settings.py ustaw parametry związane z liczbą scenariuszy i długością projekcji.

• NUM_STOCHASTIC_SCENARIOS – liczba scenariuszy: 1000

• T_MAX_CALCULATION – maksymalna liczba okresów do obliczeń: 5

• T_MAX_OUTPUT – maksymalna liczba okresów do wyświetlenia w wynikach: 5

Dla uproszczenia oraz przyspieszenia obliczeń, w tym zadaniu przyjmujemy 5-letni horyzont czasowy.

Uzupełnij słownik settings:

xxxxxxxxxx
# settings.py

settings = {
    "NUM_STOCHASTIC_SCENARIOS": _____,
    "T_MAX_CALCULATION": _____,
    "T_MAX_OUTPUT": _____,
    # ...
}

Zadanie: Wstaw odpowiednie wartości zgodnie z opisem powyżej.

4 Model

4.1 Import zmiennych

Na początek zaimportuj dane wejściowe do pliku model.py.

W tym modelu będziesz korzystać z:

• danych polisy (policy),

• stopy procentowej (interest_rate),

• scenariuszy stochastycznych (stochastic_scenarios).

Uzupełnij kod:

xxxxxxxxxx
# model.py

from input import _____, _____, _____

Zadanie: Uzupełnij nazwy zmiennych zgodnie z tymi, które przygotowałeś/aś w input.py.

4.2 Stopa zwrotu funduszu inwestycyjnego

Zdefiniuj zmienną stochastyczną investment_return(t, stoch), która zwraca roczną stopę zwrotu z funduszu w danym scenariuszu.

Załóż:

• jeśli t == 0, to zwrot wynosi 0,

• jeśli t przekracza długość umowy (term), także zwracamy 0,

• w przeciwnym razie pobieramy wartość z tabeli stochastic_scenarios.

Uzupełnij funkcję:

xxxxxxxxxx
# model.py

@variable()
def investment_return(t, stoch):
    if t == 0 or t > policy.get("_____"):
        return 0
    return stochastic_scenarios.loc[(stoch, t), "_____"]

Zadanie:

• Wstaw odpowiednią nazwę atrybutu z długością polisy (term).

• Wstaw nazwę kolumny z wartością stopy zwrotu (rate).

4.3 Wartość funduszu

Zmienna fund_value(t, stoch) pokazuje, ile wart jest fundusz inwestycyjny w danym roku t i scenariuszu stoch.

Założenia:

• w roku t = 0 fundusz równa się pierwszej składce,

• w kolejnych latach rośnie zgodnie z przypisaną stopą zwrotu,

• składka jest wpłacana na początku roku.

Uzupełnij kod:

xxxxxxxxxx
# model.py

@variable()
def fund_value(t, stoch):
    if t == 0:
        return policy.get("premium")
    elif t < policy.get("term"):
        return fund_value(t - 1, stoch) * (1 + investment_return(t, stoch)) + policy.get("_____")
    else:
        return fund_value(t - 1, stoch) * (1 + _____)

Zadanie:

• W pierwszej instrukcji return: uzupełnij nazwę atrybutu z wysokością składki,

• W drugiej: wpisz wywołanie funkcji investment_return(t, stoch).

4.4 Różnica do gwarancji

Na koniec trwania polisy ubezpieczyciel wypłaca klientowi większą z dwóch wartości: wartość funduszu albo gwarantowaną sumę. Jeżeli fundusz jest mniejszy, ubezpieczyciel musi dopłacić różnicę.

Zmienna shortfall(t, stoch) powinna:

• zwracać różnicę między gwarantowaną sumą a funduszem, jeśli fundusz jest niższy,

• zwracać 0 w przeciwnym wypadku..

Uzupełnij kod:

xxxxxxxxxx
# model.py

@variable()
def shortfall(t, stoch):
    if t == policy.get("term"):
        return max(0, _____ - _____)
    return 0

Zadanie: Uzupełnij wzór na różnicę: gwarantowana suma minus wartość funduszu.

4.5 Wartość czasowa opcji i gwarancji

Zmienna tvog(t, stoch) oblicza bieżącą wartość przewidywanej dopłaty ubezpieczyciela, czyli wartość opcji gwarantowanej wypłaty.

Założenia:

• W ostatnim roku TVOG to po prostu shortfall,

• W wcześniejszych latach – to zdyskontowana wartość TVOG z roku następnego.

Uzupełnij kod:

xxxxxxxxxx
# model.py

@variable()
def tvog(t, stoch):
    if t == policy.get("term"):
        return shortfall(t, stoch)
    return _____ * (1 / (1 + interest_rate))

Zadanie: Wpisz, jaka zmienna reprezentuje wartość z kolejnego roku.